# \[Maths\] Simplification d'équation **URL:** \ **Category:** Programmation\ **Created:** [Février 21, 2016, 4:10 UTC](https://www.debian-fr.org/t/maths-simplification-dequation/35942 "2016-02-21T04:10:01Z")\ **Posts on this page:** 20\ **Page:** 1
**Author:** ![branch](https://www.debian-fr.org/letter_avatar_proxy/v4/letter/b/ee7513/32.png) [@branch](https://www.debian-fr.org/u/branch)\ **Post date:** [Février 21, 2016, 4:10 UTC](https://www.debian-fr.org/t/maths-simplification-dequation/35942/1 "2016-02-21T04:10:01Z")
Bonjour, Je dispose de l’équation suivante : ```auto ``` On peut la renommer ainsi : ```auto ``` J’aimerai exprimer y en fonction de x, c’est à dire la transformer pour obtenir une équation de la forme : ```auto ``` Quelqu’un a une idée ? ---
**Author:** ![cauchy](https://www.debian-fr.org/letter_avatar_proxy/v4/letter/c/a88e57/32.png) [@cauchy](https://www.debian-fr.org/u/cauchy)\ **Post date:** [Février 21, 2016, 4:10 UTC](https://www.debian-fr.org/t/maths-simplification-dequation/35942/2 "2016-02-21T04:10:04Z")
Si c’est une équation (donc on cherche l’inconnue a) alors… de tête (!) S=R. ---
**Author:** ![cauchy](https://www.debian-fr.org/letter_avatar_proxy/v4/letter/c/a88e57/32.png) [@cauchy](https://www.debian-fr.org/u/cauchy)\ **Post date:** [Février 21, 2016, 4:10 UTC](https://www.debian-fr.org/t/maths-simplification-dequation/35942/3 "2016-02-21T04:10:04Z")
[quote=“branch”]J’aimerai exprimer y en fonction de x[/quote] là je ne comprends pas, si tu veux résoudre l’équation cela ne sert à rien. ---
**Author:** ![cauchy](https://www.debian-fr.org/letter_avatar_proxy/v4/letter/c/a88e57/32.png) [@cauchy](https://www.debian-fr.org/u/cauchy)\ **Post date:** [Février 21, 2016, 4:10 UTC](https://www.debian-fr.org/t/maths-simplification-dequation/35942/4 "2016-02-21T04:10:04Z")
Bon pour revenir à ma première réponse (les solutions) : en fait c’est une égalité (c’est une formule trigo.) la question cela ne serait pas plutôt : montrer que qqsoit [latex]a\in \R[/latex] on a : [quote=“branch”]sin(3_a) = 3_sin(a) - 4\*(sin(a)^3)[/quote] ---
**Author:** ![cauchy](https://www.debian-fr.org/letter_avatar_proxy/v4/letter/c/a88e57/32.png) [@cauchy](https://www.debian-fr.org/u/cauchy)\ **Post date:** [Février 21, 2016, 4:10 UTC](https://www.debian-fr.org/t/maths-simplification-dequation/35942/5 "2016-02-21T04:10:04Z")
Regarde [http://gilles.costantini.pagesperso-orange.fr/Lycee\_fichiers/CoursT\_fichiers/formtrig.pdf](http://gilles.costantini.pagesperso-orange.fr/Lycee_fichiers/CoursT_fichiers/formtrig.pdf) et pars de `sin(3a)=sin(2a+a)=...` et quelques lignes plus bas tu auras la formule magique ! ---
**Author:** ![limax](https://www.debian-fr.org/user_avatar/www.debian-fr.org/limax/32/3886_2.png) [@limax](https://www.debian-fr.org/u/limax)\ **Post date:** [Février 21, 2016, 4:10 UTC](https://www.debian-fr.org/t/maths-simplification-dequation/35942/6 "2016-02-21T04:10:06Z")
bonjour Ma première idée est de linéariser sin^3 avec xcas ```auto lineariser_trigo(sin(x)^3) ``` ---
**Author:** ![limax](https://www.debian-fr.org/user_avatar/www.debian-fr.org/limax/32/3886_2.png) [@limax](https://www.debian-fr.org/u/limax)\ **Post date:** [Février 21, 2016, 4:10 UTC](https://www.debian-fr.org/t/maths-simplification-dequation/35942/7 "2016-02-21T04:10:07Z")
re: je viens de regarder ton profil (étudiant mais en quelle année? Je pense que la méthode attendue est bien la linéarisation. sin(x)=(e^{ix}-e^{-ix})/2i tu calcules ainsi sin^3 , développes , simplifies et trouves la réponse. ![8)](https://www.debian-fr.org/uploads/default/original/1X/ae031e9834d19166598edd060b063d44f1829139.gif "Cool") ---
**Author:** ![branch](https://www.debian-fr.org/letter_avatar_proxy/v4/letter/b/ee7513/32.png) [@branch](https://www.debian-fr.org/u/branch)\ **Post date:** [Février 21, 2016, 4:10 UTC](https://www.debian-fr.org/t/maths-simplification-dequation/35942/8 "2016-02-21T04:10:07Z")
Effectivement, c’est une égalité, pas une équation à résoudre. Désolé pour l’erreur de vocabulaire. Je ne cherche pas à la prouver (je l’ai trouvée moi-même à partir de formules de trigo plus simple). Je cherche à obtenir une égalité de ce type : `sin(a) = B*(sin(3a)^3) + C*(sin(3a)^2) + D*sin(3a) + E avec B, C, D, E des nombres réels` Alors évidemment, je ne pense pas que j’obtiendrai un joli polynome, mais j’aimerais obtenir une égalité la plus simple possible. Je cherche à exprimer sin(a) en fonction de sin(3_a). Il faut partir du principe que je connais sin(3_a), et que je cherche à calculer sin(a). Grâce au formulaire de trigonométrie, je suis tombé sur cette page de wikipédia : [Formule de De Moivre](http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_De_Moivre#Historique). Elle contient une égalité qui est proche de ce que je cherche (il faut remplacer n par 3) : ![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/fr/math/9/9/1/991df4017dc04c9439f819f3c817be25.png) Le problème dans cette formule c’est qu’il y a des nombres complexes, donc ça ne m’avance pas à grand chose. @limax : ce n’est pas un exercice qu’on m’a donné, je le fais juste pour le plaisir. J’ai un niveau en maths de 1ère S. Et je ne comprends pas cette formule : ```auto ``` ---
**Author:** ![thuban](https://www.debian-fr.org/user_avatar/www.debian-fr.org/thuban/32/4177_2.png) [@thuban](https://www.debian-fr.org/u/thuban)\ **Post date:** [Février 21, 2016, 4:10 UTC](https://www.debian-fr.org/t/maths-simplification-dequation/35942/9 "2016-02-21T04:10:07Z")
Arf, j’ai été trop long à répondre. La formule[quote]sin(x)=(e^{ix}-e^{-ix})/2i[/quote] met en jeu les exponentielles (e) et le nombre imaginaire (i). C’est normal que tu ne comprennes pas, c’est au programme de terminale S. Cela dit, c’est à partir de ce moment là que les maths deviennent intéressante, donc si ça te tente tu peux aller voir de plus près. L4exponentielle est une fonction qui a pour dérivée elle même (à un coefficient de proportionnalité près), et i, bas c’est la racine de -1. 🙂 ancien message : Je ne vois pas comment inverser l’expression, passer y en fonction de x. C’est une notion de math trop compliquée pour un physicien. Par contre, on peut montrer que c’est vrai (cauchy a la bonne piste) On utilise les propriétés suivantes : [quote]sin(a+b)=sin a \* cosb + sinb \* cosa (1) cos(a+b) = cosa_cosb - sinb_sina (2) cos²a+sin²b = 1 (3)[/quote] [quote]sin(3a) = sin(2a+a) =sin(2a)_cosa + sina_cos(2a) On utilise (1) =(2_sina_cosa)_cosa + sina(cos²a-sin²a) On utilise (1) = 2_sina_cos²a + sina_(1-sin²a-sin²a) On utilise (3) = 2_sina_cos²a + sina\*(1-2_sin²a) = 2_sina\*(1-sin²a) + sina\*(1-2\*sin²a) avec y = sina = 2y \* (1-y²) + y(1-2y²) = 2y-2y^3 + y - 2y^3 = 3y - 4y[/quote] ---
**Author:** ![Tristan.T](https://www.debian-fr.org/letter_avatar_proxy/v4/letter/t/13edae/32.png) [@Tristan.T](https://www.debian-fr.org/u/Tristan.T)\ **Post date:** [Février 21, 2016, 4:10 UTC](https://www.debian-fr.org/t/maths-simplification-dequation/35942/10 "2016-02-21T04:10:14Z")
sin(a) = B\*(sin(3a)^3) + C\*(sin(3a)^2) + D\*sin(3a) + E sin(3a) = sin(a)+sin(a)^3 On va noter x = sin(a), ainsi sin(3a)= 3_x - 4_x^3 x = B\*((3_x - 4_x^3)^3) + C\*((3_x - 4_x^3)^2) + D\*(3_x - 4_x^3) + E On developpe tout ce beau monde : -64B x⁹ + 144B x⁷ + 16C x⁶ - 108B x⁵ - 24C x⁴ + (27B-4D) x³ + 9C x² + 3D x + E = x Alors la tu as une belle équation polynomiale de degres superieur a 5 ^^ Et il n’existe pas de formule pour résoudre a coup sur ce genre de polynôme ![:mrgreen:](https://www.debian-fr.org/uploads/default/original/1X/cc83e9b583138e48ff45f96609046b06d06c7f9d.gif "Mr. Green") (merci Abel) Apres est-ce-que c’est un de ces cas speciaux ou on arrive à résoudre tout de meme (trouver 5 racines, abaisser ainsi le degres etc … ![:108](https://www.debian-fr.org/uploads/default/original/1X/08429d01f54fb389a5bb2c12c142516b8d0fc6ba.gif "adr-ag") ) Mais bon, les sin et cos nous reserve bien des surprises ^^ On linearise le tout (je m’escuse s’il y a des erreurs, mais il se fait tard j’ai une bonne escuse :p) -B/4 sin(9a) + C/2 cos(6a) - (D+ 3/4 B) sin(3a) - (E+C/2) = sin(a) ![:whistle:](https://www.debian-fr.org/uploads/default/original/1X/899b2c331f8cc02517f77948602974610a95f952.gif "Whistle") EDIT : impossible de dodo, je suis aller sur le premier solveur d’equation que google a bien voulu me donner : [fr.numberempire.com/equationsolver.php](http://fr.numberempire.com/equationsolver.php) Sorry. Cannot solve this system. J’abandonne ici. je laisse quand meme tout mes developpements au cas où ca aiderai qqun ^^ Il est a noter que ce n’est pas parce qu’une calculatrice n’y arrive pas que c’est impossible, ni même très difficile ---
**Author:** ![Tristan.T](https://www.debian-fr.org/letter_avatar_proxy/v4/letter/t/13edae/32.png) [@Tristan.T](https://www.debian-fr.org/u/Tristan.T)\ **Post date:** [Février 21, 2016, 4:10 UTC](https://www.debian-fr.org/t/maths-simplification-dequation/35942/11 "2016-02-21T04:10:14Z")
Et si tu veux trouver les y solutions de : x = 3_y - 4_(y^3) tu peux utiliser Cardan : [fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode\_de\_Cardan](http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Cardan) que tu auras la choix d’utiliser une fois en TS pour introduire les imaginaires (en tout cas ce fut mon cas) et de ne plus jamais l’utiliser ![8)](https://www.debian-fr.org/uploads/default/original/1X/ae031e9834d19166598edd060b063d44f1829139.gif "Cool") On trouve seulement une solution réelle y = (sqrt(x^2-1)/8-x/8)^(1/3)+1/(4\*(sqrt(x^2-1)/8-x/8)^(1/3)) Mais bon, on n’est pas plus avancé parce que la on a des racines carré et cubique ![:naughty:](https://www.debian-fr.org/uploads/default/original/1X/a8041fe32d5c63bbc6616e748e6b50af85839764.gif "Naughty") Si jamais tu veux une rédaction plus développe de mes calculs je pourrai te fournir un .pdf ecrit en LaTeX parce que déjà la c’est pas mangeable en texte seul ^^ ---
**Author:** ![Funkygoby](https://www.debian-fr.org/user_avatar/www.debian-fr.org/funkygoby/32/3984_2.png) [@Funkygoby](https://www.debian-fr.org/u/Funkygoby)\ **Post date:** [Février 21, 2016, 4:10 UTC](https://www.debian-fr.org/t/maths-simplification-dequation/35942/12 "2016-02-21T04:10:17Z")
j’ai rien dit. ---
**Author:** ![branch](https://www.debian-fr.org/letter_avatar_proxy/v4/letter/b/ee7513/32.png) [@branch](https://www.debian-fr.org/u/branch)\ **Post date:** [Février 21, 2016, 4:10 UTC](https://www.debian-fr.org/t/maths-simplification-dequation/35942/13 "2016-02-21T04:10:18Z")
Merci pour vos réponses. @Tristan.T : Cette formule je ne suis pas sûr qu’elle soit bonne : ```auto ``` Je l’ai dite au pif pour donner une idée de ce que j’attendais. A mon avis c’est faux, ça serait trop simple. On ne connaît pas les nombres B, C, D, E donc même si on arrivait à résoudre ça, je ne sais pas ce qu’on pourrais en faire : ```auto ``` ```auto ``` Sinon, j’ai réussi à factoriser cette expression : `x = 3*y - 4*(y^3) x = -4(y - 0)(y - sqrt(3)/2)(y + sqrt(3)/2)` Bon, j’ai réussi à le faire comme ça : [code]cos(x) = (cos(2x)+1) / sqrt(2 + 2\*cos(2x)) sin(x) = sin(2x) / sqrt(2 + 2\*sqrt(1-(sin(2x)^2)))[/code] J’ai trouvé ça géométriquement sur le cercle trigo. Je m’arrête là mais si quelqu’un à une idée pour trouver plus simple (sans utiliser arcsinus et arccosinus), ou avec une division de l’angle plus grande, je suis preneur. ---
**Author:** ![Christophe23](https://www.debian-fr.org/user_avatar/www.debian-fr.org/christophe23/32/3042_2.png) [@Christophe23](https://www.debian-fr.org/u/Christophe23)\ **Post date:** [Février 21, 2016, 4:10 UTC](https://www.debian-fr.org/t/maths-simplification-dequation/35942/14 "2016-02-21T04:10:18Z")
L’équation x=3y-4y³ est une équation du 3ème degré ( inconnue y ) ; donc en appliquant la méthode de résolution de Cardan , et en posant 4y³-3y+x=0 soit y³-3/4y+x/4=0 et p= -3/4 q= x/4 on calcule son discriminant : delta= (4/27) p³+q² on obtient : delta= (x²-1)/16 x²-1 négatif ( car x est un sinus ) delta aussi les trois solutions sont réelles et égales à : ( je ne donne pas les formules car c’est long à écrire voir : [fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode\_de\_Cardan](http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Cardan) ) et sauf erreur de ma part , j’obtiens : y= cos(1/3arccos(-x+2kπ)/3 où k=0;1 ou 2 bonne vérification ---
**Author:** ![Christophe23](https://www.debian-fr.org/user_avatar/www.debian-fr.org/christophe23/32/3042_2.png) [@Christophe23](https://www.debian-fr.org/u/Christophe23)\ **Post date:** [Février 21, 2016, 4:10 UTC](https://www.debian-fr.org/t/maths-simplification-dequation/35942/15 "2016-02-21T04:10:18Z")
réflexion faite , voici bien plus simple : x=sin(3a) donc 3a=arcsinx +2kπ soit a= 1/3arcsinx +2kπ/3 y=sina donc a=arcsiny +2hπ d’où 1/3arcsinx +2kπ/3 =arcsiny+2hπ ou arcsiny =1/3arcsinx +2kπ/3 -2hπ et y = sin(1/3arcsinx +2kπ/3 ) au lieu des arccos et cos , on a des arcsin et des sin , vu que les deux sont liés ( formules de trigo ) , c’est pareil . ---
**Author:** ![Christophe23](https://www.debian-fr.org/user_avatar/www.debian-fr.org/christophe23/32/3042_2.png) [@Christophe23](https://www.debian-fr.org/u/Christophe23)\ **Post date:** [Février 21, 2016, 4:10 UTC](https://www.debian-fr.org/t/maths-simplification-dequation/35942/16 "2016-02-21T04:10:19Z")
sans arccos et arcsin , je pense qu’il faut faire intervenir les fonctions développables en série entière , ce que je propose en dernier est faisable par un élève de 1ère S ( normalement même avec les programmes actuels ) ---
**Author:** ![branch](https://www.debian-fr.org/letter_avatar_proxy/v4/letter/b/ee7513/32.png) [@branch](https://www.debian-fr.org/u/branch)\ **Post date:** [Février 21, 2016, 4:10 UTC](https://www.debian-fr.org/t/maths-simplification-dequation/35942/17 "2016-02-21T04:10:19Z")
Oui Christophe23 c’est exact mais je ne peux pas utiliser la fonction arcsinus ni arccosinus car … j’essaye de les émuler. Mon but final est de calculer arcsinus(x). Après observation géométrique sur le cercle trigonométrique, je sais que : `quand n tend vers l'infini limite (n * sin(θ/n)) = θ` Donc il faut que je trouve une formule assez simple pour trouver le sinus de l’angle θ/n à partir du sinus de l’angle θ. Pour l’instant j’ai fait une fonction as2 qui calcule le sinus de θ/2 à partir du sinus de θ : [code]as2(x) = x / sqrt(2 + sqrt(1 - x²)) propriété : as2(x) = sin(arcsin(x)/2)[/code] Donc si je compose cette fonction n fois avec elle même, j’obtiens le sinus de θ/(2^n). Le problème c’est que j’aimerai étudier un peu la limite quand n tend vers l’infini, et le fait qu’il y ai des imbrications de racine à chaque composition est handicapant. J’ai un peu plus simple pour le cosinus : [code]ac2(x) = (x+1) / sqrt(2+2x) propriété : ac2(x) = cos(arccos(x)/2)[/code] Mais il y a toujours un x sous une racine qui m’empêche de regarder la limite quand je compose la fonction avec elle-même plein de fois. Du coup je peux calculer une valeur approchée avec un ordinateur mais c’est tout. * * * > [@](#): > > sans arccos et arcsin , je pense qu’il faut faire intervenir les fonctions développables en série entière Peux tu être un peu plus explicite ? Ça m’intéresse. Je ne suis pas en 1ère S, je suis en 2ème année de licence de maths, mais j’ai un niveau de 1ère S ![:mrgreen:](https://www.debian-fr.org/uploads/default/original/1X/cc83e9b583138e48ff45f96609046b06d06c7f9d.gif "Mr. Green") là je commence à m’intéresser … ---
**Author:** ![Tristan.T](https://www.debian-fr.org/letter_avatar_proxy/v4/letter/t/13edae/32.png) [@Tristan.T](https://www.debian-fr.org/u/Tristan.T)\ **Post date:** [Février 21, 2016, 4:10 UTC](https://www.debian-fr.org/t/maths-simplification-dequation/35942/18 "2016-02-21T04:10:19Z")
[quote=“Christophe23”] y= cos(1/3arccos(-x+2kπ)/3 où k=0;1 ou 2 bonne vérification[/quote] Ben en simplifiant tu as ce que j’ai donne non ? y = (sqrt(x^2-1)/8-x/8)^(1/3)+1/(4\*(sqrt(x^2-1)/8-x/8)^(1/3)) ---
**Author:** ![Tristan.T](https://www.debian-fr.org/letter_avatar_proxy/v4/letter/t/13edae/32.png) [@Tristan.T](https://www.debian-fr.org/u/Tristan.T)\ **Post date:** [Février 21, 2016, 4:10 UTC](https://www.debian-fr.org/t/maths-simplification-dequation/35942/19 "2016-02-21T04:10:20Z")
Sinon, si ton but est de calculer la valeur de arcsin, je pense aussi que passer par un developpement en série entière est plus simple [mp.cpgedupuydelome.fr/cours.php? … ction77655](http://mp.cpgedupuydelome.fr/cours.php?id=50&idPartie=77641#Section77655) ```auto ``` Tu calcule le reste de ta fonction R\_m = \sum\_{n=m+1}^{\infty}(2n)!/(2^n n!)^2 x^{2n+1}/(2n+1) Tu cherches pour qu’elle m R\_n est plus petit que epsilon (passage délicat) Tu calcules \sum\_{n=0}^{m}(2n)!/(2^n n!)^2 x^{2n+1}/(2n+1) et tu auras une valeur de arcsin a epsilon pret Mais, le calcul risque d’etre long (faudra faire le code intelligement et ne pas calculer les factorielles et les mis a puissance a chaque fois mais réappeller les precedentes) ---
**Author:** ![Tristan.T](https://www.debian-fr.org/letter_avatar_proxy/v4/letter/t/13edae/32.png) [@Tristan.T](https://www.debian-fr.org/u/Tristan.T)\ **Post date:** [Février 21, 2016, 4:10 UTC](https://www.debian-fr.org/t/maths-simplification-dequation/35942/20 "2016-02-21T04:10:20Z")
[code]Fonction : Calcul\_m Entrée : epsilon,x fonction a venir, si qqun a une idée elle est la bienvenue ^^ [/code] On suppose qu’on a la fonction qui nous calcul le m Maintenant on va faire un programme qui calcule la somme [code]Fonction : Calcul\_Somme Entrée : m,x #Initialisation n = 0 nfactoriel = 1 2nfactoriel = 1 2puissancen = 1 xpuissance2n+1 = x somme = 2nfactoriel/((2puissancen \* nfactoriel)\*(2puissancen \* nfactoriel)) \* xpuissance2n+1/(2n+1) #Calcul de la somme tant que n \< m n = n+1 nfactoriel = nfactoriel_n 2nfactoriel = 2nfactoriel_2n\*(2n-1) 2puissancen = 2puissancen\*2 xpuissance2n+1 = xpuissance2n+1 \* x² somme = somme + ( 2nfactoriel/((2puissancen \* nfactoriel)\*(2puissancen \* nfactoriel)) \* xpuissance2n+1/(2n+1)) fin de tant que afficher somme [/code] [Page suivante](https://www.debian-fr.org/t/maths-simplification-dequation/35942.md?page=2)