La machine qui fait tourner le serveur DHCP est elle-même en configuration statique, elle n’obtient donc pas les DNS depuis son propre serveur DHCP.
Il faut configurer le fichier /etc/resolv.conf, ou bien l’option dns-nameserver(s) dans le fichier interfaces si le paquet resolvconf est installé.
Mais avant de s’attaquer à la résolution DNS commence par vérifier que tu peux atteindre une adresse IP extérieure avec ping ou traceroute. 8.8.8.8 est un bon candidat.