Bonjour,
Je dispose de l’équation suivante :
On peut la renommer ainsi :
J’aimerai exprimer y en fonction de x, c’est à dire la transformer pour obtenir une équation de la forme :
Quelqu’un a une idée ?
Si c’est une équation (donc on cherche l’inconnue a) alors… de tête (!) S=R.
[quote=“branch”]J’aimerai exprimer y en fonction de x[/quote] là je ne comprends pas, si tu veux résoudre l’équation cela ne sert à rien.
Bon pour revenir à ma première réponse (les solutions) : en fait c’est une égalité (c’est une formule trigo.) la question cela ne serait pas plutôt : montrer que qqsoit [latex]a\in \R[/latex] on a : [quote=“branch”]sin(3a) = 3sin(a) - 4*(sin(a)^3)[/quote]
Regarde http://gilles.costantini.pagesperso-orange.fr/Lycee_fichiers/CoursT_fichiers/formtrig.pdf
et pars de sin(3a)=sin(2a+a)=... et quelques lignes plus bas tu auras la formule magique !
bonjour
Ma première idée est de linéariser sin^3
avec xcas
lineariser_trigo(sin(x)^3)re: je viens de regarder ton profil (étudiant mais en quelle année?
Je pense que la méthode attendue est bien la linéarisation.
sin(x)=(e^{ix}-e^{-ix})/2i
tu calcules ainsi sin^3 , développes , simplifies et trouves la réponse. 
Effectivement, c’est une égalité, pas une équation à résoudre. Désolé pour l’erreur de vocabulaire.
Je ne cherche pas à la prouver (je l’ai trouvée moi-même à partir de formules de trigo plus simple). Je cherche à obtenir une égalité de ce type :
sin(a) = B*(sin(3a)^3) + C*(sin(3a)^2) + D*sin(3a) + E
avec B, C, D, E des nombres réels
Alors évidemment, je ne pense pas que j’obtiendrai un joli polynome, mais j’aimerais obtenir une égalité la plus simple possible.
Je cherche à exprimer sin(a) en fonction de sin(3a).
Il faut partir du principe que je connais sin(3a), et que je cherche à calculer sin(a).
Grâce au formulaire de trigonométrie, je suis tombé sur cette page de wikipédia : Formule de De Moivre. Elle contient une égalité qui est proche de ce que je cherche (il faut remplacer n par 3) :
Le problème dans cette formule c’est qu’il y a des nombres complexes, donc ça ne m’avance pas à grand chose.
@limax : ce n’est pas un exercice qu’on m’a donné, je le fais juste pour le plaisir. J’ai un niveau en maths de 1ère S. Et je ne comprends pas cette formule :
Arf, j’ai été trop long à répondre.
La formule[quote]sin(x)=(e^{ix}-e^{-ix})/2i[/quote] met en jeu les exponentielles (e) et le nombre imaginaire (i). C’est normal que tu ne comprennes pas, c’est au programme de terminale S. Cela dit, c’est à partir de ce moment là que les maths deviennent intéressante, donc si ça te tente tu peux aller voir de plus près.
L4exponentielle est une fonction qui a pour dérivée elle même (à un coefficient de proportionnalité près), et i, bas c’est la racine de -1. 
ancien message :
Je ne vois pas comment inverser l’expression, passer y en fonction de x. C’est une notion de math trop compliquée pour un physicien. Par contre, on peut montrer que c’est vrai (cauchy a la bonne piste)
On utilise les propriétés suivantes :
[quote]sin(a+b)=sin a * cosb + sinb * cosa (1)
cos(a+b) = cosacosb - sinbsina (2)
cos²a+sin²b = 1 (3)[/quote]
[quote]sin(3a) = sin(2a+a)
=sin(2a)cosa + sinacos(2a) On utilise (1)
=(2sinacosa)cosa + sina(cos²a-sin²a) On utilise (1)
= 2sinacos²a + sina(1-sin²a-sin²a) On utilise (3)
= 2sinacos²a + sina*(1-2sin²a)
= 2sina*(1-sin²a) + sina*(1-2*sin²a)
avec y = sina
= 2y * (1-y²) + y(1-2y²)
= 2y-2y^3 + y - 2y^3
= 3y - 4y[/quote]
sin(a) = B*(sin(3a)^3) + C*(sin(3a)^2) + D*sin(3a) + E
sin(3a) = sin(a)+sin(a)^3
On va noter x = sin(a), ainsi sin(3a)= 3x - 4x^3
x = B*((3x - 4x^3)^3) + C*((3x - 4x^3)^2) + D*(3x - 4x^3) + E
On developpe tout ce beau monde :
-64B x⁹ + 144B x⁷ + 16C x⁶ - 108B x⁵ - 24C x⁴ + (27B-4D) x³ + 9C x² + 3D x + E = x
Alors la tu as une belle équation polynomiale de degres superieur a 5 ^^ Et il n’existe pas de formule pour résoudre a coup sur ce genre de polynôme 
(merci Abel)
Apres est-ce-que c’est un de ces cas speciaux ou on arrive à résoudre tout de meme (trouver 5 racines, abaisser ainsi le degres etc … 
)
Mais bon, les sin et cos nous reserve bien des surprises ^^
On linearise le tout (je m’escuse s’il y a des erreurs, mais il se fait tard j’ai une bonne escuse :p)
-B/4 sin(9a) + C/2 cos(6a) - (D+ 3/4 B) sin(3a) - (E+C/2) = sin(a) 
EDIT : impossible de dodo, je suis aller sur le premier solveur d’equation que google a bien voulu me donner : fr.numberempire.com/equationsolver.php
Sorry. Cannot solve this system.
J’abandonne ici. je laisse quand meme tout mes developpements au cas où ca aiderai qqun ^^
Il est a noter que ce n’est pas parce qu’une calculatrice n’y arrive pas que c’est impossible, ni même très difficile
Et si tu veux trouver les y solutions de : x = 3y - 4(y^3)
tu peux utiliser Cardan : fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Cardan que tu auras la choix d’utiliser une fois en TS pour introduire les imaginaires (en tout cas ce fut mon cas) et de ne plus jamais l’utiliser
On trouve seulement une solution réelle
y = (sqrt(x^2-1)/8-x/8)^(1/3)+1/(4*(sqrt(x^2-1)/8-x/8)^(1/3))
Mais bon, on n’est pas plus avancé parce que la on a des racines carré et cubique 
Si jamais tu veux une rédaction plus développe de mes calculs je pourrai te fournir un .pdf ecrit en LaTeX parce que déjà la c’est pas mangeable en texte seul ^^
j’ai rien dit.
Merci pour vos réponses.
@Tristan.T : Cette formule je ne suis pas sûr qu’elle soit bonne :
Je l’ai dite au pif pour donner une idée de ce que j’attendais. A mon avis c’est faux, ça serait trop simple.
On ne connaît pas les nombres B, C, D, E donc même si on arrivait à résoudre ça, je ne sais pas ce qu’on pourrais en faire :
Sinon, j’ai réussi à factoriser cette expression :
x = 3*y - 4*(y^3)
x = -4(y - 0)(y - sqrt(3)/2)(y + sqrt(3)/2)
Bon, j’ai réussi à le faire comme ça :
[code]cos(x) = (cos(2x)+1) / sqrt(2 + 2*cos(2x))
sin(x) = sin(2x) / sqrt(2 + 2*sqrt(1-(sin(2x)^2)))[/code]
J’ai trouvé ça géométriquement sur le cercle trigo. Je m’arrête là mais si quelqu’un à une idée pour trouver plus simple (sans utiliser arcsinus et arccosinus), ou avec une division de l’angle plus grande, je suis preneur.
L’équation x=3y-4y³ est une équation du 3ème degré ( inconnue y ) ; donc en appliquant la méthode de résolution de Cardan , et en posant
4y³-3y+x=0 soit y³-3/4y+x/4=0
et p= -3/4
q= x/4
on calcule son discriminant :
delta= (4/27) p³+q²
on obtient :
delta= (x²-1)/16
x²-1 négatif ( car x est un sinus ) delta aussi
les trois solutions sont réelles et égales à :
( je ne donne pas les formules car c’est long à écrire voir : fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Cardan ) et sauf erreur de ma part , j’obtiens :
y= cos(1/3arccos(-x+2kπ)/3 où k=0;1 ou 2
bonne vérification
réflexion faite , voici bien plus simple :
x=sin(3a) donc 3a=arcsinx +2kπ soit a= 1/3arcsinx +2kπ/3
y=sina donc a=arcsiny +2hπ
d’où 1/3arcsinx +2kπ/3 =arcsiny+2hπ
ou arcsiny =1/3arcsinx +2kπ/3 -2hπ
et y = sin(1/3arcsinx +2kπ/3 )
au lieu des arccos et cos , on a des arcsin et des sin , vu que les deux sont liés ( formules de trigo ) , c’est pareil .
sans arccos et arcsin , je pense qu’il faut faire intervenir les fonctions développables en série entière , ce que je propose en dernier est faisable par un élève de 1ère S ( normalement même avec les programmes actuels )
Oui Christophe23 c’est exact mais je ne peux pas utiliser la fonction arcsinus ni arccosinus car … j’essaye de les émuler.
Mon but final est de calculer arcsinus(x). Après observation géométrique sur le cercle trigonométrique, je sais que :
quand n tend vers l'infini
limite (n * sin(θ/n)) = θ
Donc il faut que je trouve une formule assez simple pour trouver le sinus de l’angle θ/n à partir du sinus de l’angle θ.
Pour l’instant j’ai fait une fonction as2 qui calcule le sinus de θ/2 à partir du sinus de θ :
[code]as2(x) = x / sqrt(2 + sqrt(1 - x²))
propriété :
as2(x) = sin(arcsin(x)/2)[/code]
Donc si je compose cette fonction n fois avec elle même, j’obtiens le sinus de θ/(2^n). Le problème c’est que j’aimerai étudier un peu la limite quand n tend vers l’infini, et le fait qu’il y ai des imbrications de racine à chaque composition est handicapant.
J’ai un peu plus simple pour le cosinus :
[code]ac2(x) = (x+1) / sqrt(2+2x)
propriété :
ac2(x) = cos(arccos(x)/2)[/code]
Mais il y a toujours un x sous une racine qui m’empêche de regarder la limite quand je compose la fonction avec elle-même plein de fois. Du coup je peux calculer une valeur approchée avec un ordinateur mais c’est tout.
Peux tu être un peu plus explicite ? Ça m’intéresse.
Je ne suis pas en 1ère S, je suis en 2ème année de licence de maths, mais j’ai un niveau de 1ère S là je commence à m’intéresser …
[quote=“Christophe23”]
y= cos(1/3arccos(-x+2kπ)/3 où k=0;1 ou 2
bonne vérification[/quote]
Ben en simplifiant tu as ce que j’ai donne non ?
y = (sqrt(x^2-1)/8-x/8)^(1/3)+1/(4*(sqrt(x^2-1)/8-x/8)^(1/3))
Sinon, si ton but est de calculer la valeur de arcsin, je pense aussi que passer par un developpement en série entière est plus simple
mp.cpgedupuydelome.fr/cours.php? … ction77655
Tu calcule le reste de ta fonction R_m = \sum_{n=m+1}^{\infty}(2n)!/(2^n n!)^2 x^{2n+1}/(2n+1)
Tu cherches pour qu’elle m R_n est plus petit que epsilon (passage délicat)
Tu calcules \sum_{n=0}^{m}(2n)!/(2^n n!)^2 x^{2n+1}/(2n+1) et tu auras une valeur de arcsin a epsilon pret
Mais, le calcul risque d’etre long (faudra faire le code intelligement et ne pas calculer les factorielles et les mis a puissance a chaque fois mais réappeller les precedentes)
[code]Fonction : Calcul_m
Entrée : epsilon,x
fonction a venir, si qqun a une idée elle est la bienvenue ^^
[/code]
On suppose qu’on a la fonction qui nous calcul le m
Maintenant on va faire un programme qui calcule la somme
[code]Fonction : Calcul_Somme
Entrée : m,x
#Initialisation
n = 0
nfactoriel = 1
2nfactoriel = 1
2puissancen = 1
xpuissance2n+1 = x
somme = 2nfactoriel/((2puissancen * nfactoriel)*(2puissancen * nfactoriel)) * xpuissance2n+1/(2n+1)
#Calcul de la somme
tant que n < m
n = n+1
nfactoriel = nfactorieln
2nfactoriel = 2nfactoriel2n*(2n-1)
2puissancen = 2puissancen*2
xpuissance2n+1 = xpuissance2n+1 * x²
somme = somme + ( 2nfactoriel/((2puissancen * nfactoriel)*(2puissancen * nfactoriel)) * xpuissance2n+1/(2n+1))
fin de tant que
afficher somme
[/code]