Problème de maths (niveau prépa ?)

Pause Café
#1

Salut à tous,

J’ai un problème de maths qui me semble un peu fumeux. Je n’arrive pas à en trouver une solution, ni à saisir d’où peut venir une difficulté majeure.

Soit la matrice M de taille n, n+1 pleine de 0 sauf sur la diagonale et la sur-diagonale (égales à 1).
Exemple pour n = 5 :

1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1
X de taille n,n à valeurs dans {0, 1}
A de taille n+1, n+1 à valeurs dans {0, 1}

Le problème consiste à trouver toutes les matrices A telles que l’équation A = MXtranspose(M) ait une unique solution.

Je galère, mais à un point ! Même en fixant n à un entier assez petit, je ne sais pas comment résoudre ce problème autrement qu’à la force brute…

#2

AAAAARGH, des maths! Oscour!
\me fuir en courant

ps : désolé de ne pas pouvoir t’aider.

#3

Fut une époque où j’aurais peut-être pu t’aider, là la seule chose qui me vient en tête c’est de chercher un équivalent à cette question dans un espace plus “palpable” que les matrices dans lequel l’énoncé du problème serait plus clair, puis de définir une bijection entre ces deux espaces. C’est une solution assez élégante à quelques problèmes qu’on ne sait pas appréhender de prime abord :wink:

Je me souviens dans ce genre d’un devoir maison avec une question assez lourde et peu intéressante à résoudre telle quelle, mais un pote avec qui je bossais a tout de suite dit “en binaire c’est trivial”, suite à quoi on s’est attelé à montrer que le problème était équivalent entre les deux espaces. Vite fait bien fait, et en plus compréhensible.

#4

Désolé de ne pas pouvoir t’aider, les maths c’est pas vraiment ma tasse de thé.

#5

Coq > J’ai tenté de trouver un problème équivalent, mais sans grand succès (premier réflexe du matheux que de se ramener à une situation précédemment connue ^^)

Pour info, j’ai seulement pu remarquer que cette équation était celle d’un squaro résolu. Pour A fixée, chercher X revient à résoudre le squaro. Du coup, le problème est de trouver tous les squaros qui n’admettent qu’une unique solution.

#6

Tu as une incohérence dans l’énoncé, on peut présumer M à n+1 lignes n colonnes (ou l’inverse)

À froid je penserais à ça:

Tu complètes M par une ligne de 0 avec un 1 à la fin, ta matrice devient N=I+J inversible d’inverse N^(-1)=I-J+J²-J³-… donc à coefficient entier parmi 0,1 et -1

Ton problème devient a-t-on N^(-1).A.N de la forme voulue (dans la mesure où tu connais N^(-1), tu as l’expression exact de X en fonction de A). Après il faut faire les calculs mais ça devrait aller…

Mais c’est le genre d’exercice un peu foireux qui peut être extrèmement pénible.

#7

Bigre! Musicien ça ramolli vraiment la tronche!
Bon, je file. J’ai du Sonny Rollins à relever!