Plop all,
Un problème me turlupine. La question porte sur une base des deux espaces vectoriels R(X) et C(X) (les fractions rationnelles à coeff dans R ou C)
J’ai trouvé quelque-chose qui pourrait être une base, mais j’ai un petit problème de définition.
Etudions le cas R(X). Une “base” serait l’union de la base canonique de R[X] union {1/(X+a), a dans R} union {1/(X²+aX+b), avec les a et b bien choisis pour que le polynôme soit irréductible} union {(X+c)/(X²+aX+b), avec a,b,c bien choisis aussi}
Tous les éléments de cet ensemble sont libres, et ils génèrent R(X). Conclusion à l’arrache : c’est donc une base de R(X). Mais c’est là que le problème survient.
Dixit Wikipédia (et mon cours aussi, au passage) : « une base est une famille de vecteurs libre et génératrice d’un espace vectoriel »
Dixit Techno-science : « la notion de famille est une généralisation de celle de suite, suite finie ou suite indexée par les entiers »
Autrement dit, une famille est un ensemble dénombrable (puisque indexé). Une base étant une famille, elle est forcément dénombrable. Ce qui n’est absolument pas le cas de la base que j’ai trouvée ! (Un raisonnement par l’absurde nous ferait conclure : donc R(X) n’est pas une espace vectoriel… Ce qui est loin d’être vrai :p)
Bref, il y a un problème quelque-part. Selon vous, une base peut-elle être non dénombrable ? Etant donné que les bases en dimension infinie ne sont pas au programme de spé, je ne sais pas grand chose dessus.
Et, au passage, si vous trouvez une autre base un peu plus sympa, je suis preneur. Parce-que là, c’est vraiment moche comme base, même si un tout petit peu plus joli dans C(X).
Merci d’avance 
Duna
)
(Et Jussieu me paraît très adapté pour ce genre de chose)